৫. বিন্যাস ও সমাবেশ (Permutations & Combinations)

ব্যাখ্যা: ⁶P₃ = 6 × 5 × 4 = 120

ব্যাখ্যা: প্রত্যেকে 13টি করে: ⁵²C₁₃ × ³⁹C₁₃ × ²⁶C₁₃ × ¹³C₁₃ = (52!)/((13!)⁴)

ব্যাখ্যা: M, A, T প্রত্যেকে 2 বার আছে, তাই সব বর্ণ নিয়ে সাজানো যায় (11!)/((2!)³) ভাবে; (i) ভুল। 7টি ব্যঞ্জনবর্ণকে একটি ধরে 5টি বর্ণ (A দুইবার): (5!)/(2!) × (7!)/(2!2!) = (5!×7!)/((2!)³); (ii) সঠিক। ব্যঞ্জনবর্ণ স্থির রেখে স্বরবর্ণ A, E, A, I সাজানো যায় (4!)/(2!) ভাবে; (iii) সঠিক।

ব্যাখ্যা: 8টি বর্ণে a দুইবার, l তিনবার: (8!)/(2! × 3!) = 3360 স্বরবর্ণ a, a, e এর বিন্যাস (3!)/(2!) = 3, তাই 3360/3 = 1120 ব্যঞ্জনবর্ণ P, r, l, l, l এর বিন্যাস (5!)/(3!) = 20, তাই 3360/20 = 168

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজ সংখ্যা = ¹⁶C₃ = (16 × 15 × 14)/(3 × 2 × 1) = 560

ক) মোট অঙ্ক সংখ্যা 10 টি। টেলিফোন নম্বরগুলি 9 অঙ্কনবিশিষ্ট যার প্রথম দুইটি অঙ্ক 0 2। ∴(9 − 2) বা 7 টি খালি ঘর রয়েছে। 10 টি অঙ্ক দ্বারা 7 টি খালিঘর পূরণ করা যাবে 7¹⁰ উপায়ে। মোট টেলিফোন সংযোগ দেওয়া যাবে =7¹⁰ = 282475249 টি।

খ) প্রথম পাঁচটি অঙ্ক (1, 2, 3, 4, 5) সরলরেখার দৈর্ঘ্য সূচিত করলে এই 5 টি থেকে 3 টি সরলরেখা নিয়ে ত্রিভুজ ত্রিভুজ গঠন করা যায়। ⁵C₃ অর্থাৎ 10টি। আমারা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর ফলে (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 4, 5), (2, 3, 5) কম্বিনেশন দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যায় না। নির্ণেয় ত্রিভুজ সংখ্যা। 10-7 = 3 টি (Ans.)

গ) PERMUTATION শব্দটিতে মোট 11 টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে 5টি স্বরবর্ণ এবং 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে। 1 থেকে 11 এর মধ্যে জোড় স্থান 5 টি এবং বিজোড় স্থান 6টি আছে। এখন, 5টি স্বরবর্ণ দ্বারা 5টি জোড় স্থানকে পূরণ করা যাবে 5!উপায়ে। আবার, যেহেতু ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্যে 2 টি T রয়েছে। সুতরাং 6টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা 6টি বিজোড় স্থানকে পূরণ করা যাবে (6!)/(2!) উপায়ে। ∴ শব্দটিতে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5!×(6!)/(2!) = 120 × 720/2 = 43200(Ans.)

উত্তর: মোট অঙ্ক সংখ্যা 10 টি। টেলিফোন নম্বরগুলি 9 অঙ্কনবিশিষ্ট যার প্রথম দুইটি অঙ্ক 0 2। ∴(9 − 2) বা 7 টি খালি ঘর রয়েছে। 10 টি অঙ্ক দ্বারা 7 টি খালিঘর পূরণ করা যাবে 7¹⁰ উপায়ে। মোট টেলিফোন সংযোগ দেওয়া যাবে =7¹⁰ = 282475249 টি।

উত্তর: "MATHIMATICS " শব্দটিতে মোট অক্ষর 11 টি যার মধ্যে 2 টি M, 2টি A, 2 টি T, এবং অবশিষ্টগুলো ভিন্ন ভিন্ন। সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা =(11!)/(2!2!2!) = 4989600(Ans.)