ক) দেওয়া আছে,
A = {x ∈ ℕ : x² > 5 এবং x³ < 126}
x = 2 হলে, x² = 4 5 এবং x³ = 2³ = 8 < 126
x = 3 হলে, x² = 3² = 9 > 5 এবং x³ = 3³ = 27 < 126
x = 4 হলে, x² = 4² = 16 > 5 এবং x³ = 4³ = 64 < 126
x = 5 হলে, x² = 5² = 25 > 5 এবং x³ = 5³ = 125 < 126
x = 6 হলে, x² = 6² = 36 > 5 এবং x³ = 6³ = 216 126
∴ A = {3, 4, 5} (Ans.)
খ) দেওয়া আছে, B = {x ∈ ℕ : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 7}
= {2, 3, 5, 7}
এবং C = B\A = {2, 3, 5, 7} − {3, 4, 5}
= {2, 7}
এখন, A ∩ B = {3, 4, 5} ∩ {2, 3, 5, 7}
= {3, 5}
A × B = {3, 4, 5} × {2, 3, 5, 7}
= {(3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 7),
(5, 2), (5, 3), (5, 5), (5, 7)}
B × C = {2, 3, 5, 7} × {2, 7}
= {(2, 2), (2, 7), (3, 2), (3, 7), (5, 2), (5, 7), (7, 2), (7, 7)}
∴ (A × B) ∩ (B × C) = {(3, 2), (3, 7), (5, 2), (5, 7)}
আবার (A ∩ B) × C = {3, 5} × {2, 7} = {(3, 2), (3, 7), (5, 2), (5, 7)}
∴ (A ∩ B) × C = (A × B) ∩ (B × C) (দেখানো হলো)
গ) 'খ' হতে পাই, B = {2, 3, 5, 7}
∴ P(B) = {{2}, {3}, {5}, {7}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {2, 3, 5}, {2, 3, 7}, {2, 5, 7}, {3, 5, 7}, {2, 3, 5, 7}, ∅}
ধরি, B সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 4
সুতরাং P(B) এর উপাদান সংখ্যা = 16 = 2⁴ = 2ⁿ
∴ P(B) এর উপাদান সংখ্যা 2ⁿ কে সমর্থন করে, যেখানে n, B এর উপাদান সংখ্যা। (প্রমাণিত)
