ক) দেওয়া আছে, ΔPQR এর ∠PQR = 90° এবং QR এর উপর একটি বিন্দু S।
প্রমাণ করতে হবে যে, PR² − PS² = QR² − QS²
অঙ্কন: P, S যোগ করি।
P
Q
S
R
প্রমাণ : পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
ΔPQR হতে, PQ² + QR² = PR²
বা, PQ² = PR² − QR² ... ... ... ... (i)
আবার, ΔPQS হতে, PQ² + QS² = PS²
বা, PQ² = PS² − QS² ... ... ... ... (ii)
(i) ও (ii) হতে পাই,
PR² − QR² = PS² − QS²
বা, PR² − PS² = QR² − QS² (প্রমাণিত)
খ) Q
R
P
E
S
বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ΔPQR এর PR বাহুর মধ্যবিন্দু S। Q, S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ + QR > 2QS.
অংকন: QS কে E পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন SE = QS হয়। R, E যোগ করি।
প্রমাণ: ধাপ যথার্থতা
(১) ΔPQS এবং ΔSER-এ
PS = SR [S, PR এর মধ্যবিন্দু]
QS = SE [অঙ্কনানুসারে]
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠QSP = অন্তর্ভুক্ত ∠ESR [বিপ্রতীপ কোণ]
∴ ΔPQS ≅ ΔSER [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
সুতরাং PQ = RE
(২) আবার, ΔQER-এ, [ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি
QR + RE > QE তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
বা, QR + PQ > QS + SE [ধাপ (১) থেকে]
বা, PQ + QR > QS + QS [অঙ্কনানুসারে]
∴ PQ + QR > 2QS (প্রমাণিত)
গ) Q
R
P
N
M
O
বিশেষ নির্বচন: ΔQPR-এর QP বাহুকে M পর্যন্ত এবং QR বাহুকে N পর্যন্ত বর্ধিত করায় P এবং R বিন্দুতে দুইটি বহিঃস্থকোণ যথাক্রমে ∠MPR এবং ∠NRP উৎপন্ন হয়েছে। এখন, ∠MPR এর সমদ্বিখণ্ডক PO এবং ∠NRP এর সমদ্বিখণ্ডক RO পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠POR = 90° – 1/2 ∠Q.
প্রমাণ: ধাপ যথার্থতা
(১) ΔQPR-এ
∠Q + ∠P + ∠R = 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের
সমষ্টি 2 সমকোণ]
বা, 1/2 ∠Q + 1/2 ∠P + 1/2 ∠R = 90° ... ... ... (i)
(২) আবার, ΔPOR-এ
∠POR + ∠OPR + ∠ORP = 180°
বা, ∠POR + 1/2 ∠MPR + 1/2 ∠NRP = 180°
[ PO এবং RO যথাক্রমে ∠MPR ও ∠NRP এর সমদ্বিখণ্ডক]
বা, ∠POR + 1/2 (180° – ∠P) + 1/2 (180° – ∠R) = 180°
[∠RPM, ∠P-এর এবং ∠PRN, ∠R-এর সম্পূরক কোণ]
বা, ∠POR + 90° – 1/2 ∠P + 90° – 1/2 ∠R = 180°
বা, ∠POR = 180° – 90° – 90° + (1/2 ∠P + 1/2 ∠R + 1/2 ∠Q) – 1/2 ∠Q
∴ ∠POR = 90° – 1/2 ∠Q [(i) নং হতে] (প্রমাণিত)
ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু O, OP = 4 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, BC = কত সে.মি.?
চিত্রে, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A = এক সমকোণ এবং BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; A, D যোগ করা হলো।