ক) 4, x, 16 ক্রমিক সমানুপাতিক হলে,
4/x = x/16
বা, x² = 64
∴ x = ± 8 (Ans.)
খ) দেওয়া আছে, (p² + q²)/(q² + r²) = ((p + q)²)/((q + r)²)
বা, ((q + r)²)/(q² + r²) = ((p + q)²)/(p² + q²) [একান্তরকরণ করে]
বা, (q² + 2qr + r²)/(q² + r²) = (p² + 2pq + q²)/(p² + q²)
বা, (q² + 2qr + r² – q² – r²)/(q² + r²) = (p² + 2pq + q² – p² – q²)/(p² + q²) [বিয়োজন করে]
বা, 2qr/(q² + r²) = 2pq/(p² + q²)
বা, r/(q² + r²) = p/(p² + q²) [উভয়পক্ষকে 2q দ্বারা ভাগ করে]
বা, p(q² + r²) = r(p² + q²)
বা, pq² + pr² = rp² + rq²
বা, pq² – rq² = rp² – pr²
বা, q²(p – r) = pr(p – r)
বা, q² = pr [(p − r) দ্বারা ভাগ করে]
বা, pr = q²
বা, p/q = q/r
বা, p : q = q : r
∴ p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী।
∴ প্রদত্ত সম্পর্কটি উদ্দীপকের শর্তকে সমর্থন করে। (দেখানো হলো)
গ) দেওয়া আছে, t = (³√m + 1 + ³√m−1)/(³√m + 1 − ³√m − 1)
বা, (t + 1)/(t − 1) = (³√m + 1 + ³√m − 1 + ³√m + 1 − ³√m − 1)/(³√m + 1 + ³√m − 1 − ³√m + 1 + ³√m − 1)
[ যোজন-বিয়োজন করে ]
বা, (t + 1)/(t − 1) = (2 ³√m + 1)/(2 ³√m − 1)
বা, (t + 1)/(t − 1) = (³√m + 1)/(³√m − 1)
বা, ((t + 1)/(t − 1))³ = ((³√m + 1)/(³√m − 1)) 3 [ উভয়পক্ষকে ঘন করে ]
বা, (t³ + 3t² + 3t + 1)/(t³ − 3t² + 3t − 1) = (m + 1)/(m − 1)
বা, (t³ + 3t² + 3t + 1 + t³ − 3t² + 3t − 1)/(t³ + 3t² + 3t + 1 − t³ + 3t² − 3t + 1) = (m + 1 + m − 1)/(m + 1 − m + 1)
[পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]
বা, (2t³ + 6t)/(2 + 6t²) = 2m/2
বা, (2(t³ + 3t))/(2⁻¹ + 3t²)) = m
বা, t³ + 3t = m + 3mt² [আড় গুণন করে]
∴ t³ – 3mt² + 3t – m = 0 (প্রমাণিত)
মনে করি,
ABCD একটি আয়তাকার জমি যার কর্ণ AC।
দৈর্ঘ্য ও কর্ণের অনুপাত = 1/5: 1/4
= 1/5 × 20 : 1/4 × 20 [20 দ্বারা গুণ করে]
= 4 : 5 (Ans.)