ক) প্রদত্ত সমান্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 5 − 3 = 2
মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 303
আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n − 1)d
∴ a + (n − 1)d = 303
বা, 3 + (n − 1)2 = 303
বা, 3 + 2n − 2 = 303
বা, 2n + 1 = 303
বা, 2n = 302
বা, n = 151
∴ প্রদত্ত ধারার 151 তম পদ 303 (Ans.)
খ) মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ = arⁿ⁻¹
প্রশ্নমতে, ar⁴⁻¹ = 1/3
বা, ar³ = 1/3... ... ... ... (i)
এবং ar¹⁰⁻¹ = 1/81
বা, ar⁹ = 1/81... ... ... ... (ii)
(ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁹/ar³ = (1/81)/(1/3)
বা, r⁶ = 3/81
বা, r⁶ = 1/27
বা, r⁶ = (1/√3)⁶
বা, r = 1/√3
∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/√3
(i) নং সমীকরণে r = 1/√3 বসিয়ে পাই,
a × (1/√3)³ = 1/3
বা, a 1/(3 √3) = 1/3
বা, a = √3
∴ ধারাটির ১ম পদ, a = √3
তাহলে, প্রদত্ত ধারাটি = a + ar + ar² + ar³ + ......
= √3 + √3 × 1/√3 + √3 × (1/√3)² + √3 × (1/√3)³ + .....
= √3 + 1 + 1/√3 + 1/3 + .......... (Ans.)
গ) মনে করি, সমান্তর ধারাটির ১ম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
আমরা জানি, সমান্তর ধারার ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = n/2 {2a + (n − 1)d}
প্রশ্নমতে, 12/2 {2a + (12 − 1)d} = 222
বা, 6(2a + 11d) = 222
বা, 2a + 11d = 37 ... ... ... ... (i)
এবং 24/2 {2a + (24 − 1)d} = 876
বা, 12(2a + 23d) = 876
বা, 2a + 23d = 73 ... ... ... ... (ii)
(ii) নং হতে (i) নং বিয়োগ করে পাই,
23d − 11d = 73 − 37
বা, 12d = 36
বা, d = 3
∴ সমান্তর ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 3
d = 3, (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2a + 11 × 3 = 37
বা, 2a = 37 − 33
বা, 2a = 4
বা, a = 2
সুতরাং ধারাটির ১ম পদ, a = 2
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n − 1)d
∴ ধারাটির 60 তম পদ = a + (60 − 1)d
= 2 + 59 × 3
= 179 (Ans.)
