১৩. ঘন জ্যামিতি

ব্যাখ্যা: প্রশ্নানুসারে সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সটির উচ্চতা হবে বলটির ব্যাসের সমান এবং ব্যাসার্ধ হবে বলটির ব্যাসার্ধের সমান। ∴ বাক্সটির উচ্চতা h = 2 সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ r = 1/2 × 2 = 1 সে.মি. সুতরাং বাক্সের আয়তন = πr²h = π × 1² × 2 = 2π ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা: অনধিকৃত অংশের আয়তন = বাক্সের আয়তন − বলের আয়তন বলের আয়তন = 4/3 πr² = 4/3 π × 1³ = 4π/3 ঘন সে.মি. ∴ অনধিকৃত অংশের আয়তন = 2π − 4π/3 = 2π/3 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা: গোলক গলিয়ে সিলিন্ডার তৈরির কারণে এদের আয়তন সমান হবে। ∴ গোলকের ব্যাসার্ধ r = 6/2 = 3 সে.মি. ∴ গোলকের আয়তন = 4/3 πr³ = 36π ঘন সে.মি. দেওয়া আছে, সিলিন্ডারটির ব্যাসার্ধ r = 3 সে.মি. ∴ সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h ঘন সে.মি. বা, πr²h = 36π ∴ h = 36/3² = 4 সে.মি.

ক) ধরি, প্যাকেটটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে 4x, 3x ও 2x সে.মি. আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক। তাহলে, 2(4x × 3x + 3x × 2x + 2x × 4x) = 468 বা, 2 × 26x² = 468 বা, x² = 468/(2 × 26) বা, x² = 9 ∴ x = 3 ∴ প্যাকেটির দৈর্ঘ্য, a = 4 × 3 = 12 সে.মি., প্রস্থ b = 3 × 3 = 9 সে.মি. এবং উচ্চতা, c = 2 × 3 = 6 সে.মি. (Ans.)

খ) আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য = √a² + b² + c² একক ∴ প্যাকেটের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √12² + 9² + 6² সে.মি. [ক হতে পাই] = √261 সে.মি. = 16·16 সে.মি. (প্রায়) (Ans.) আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর ছয়টি তল রয়েছে এবং তিনটি তল অপর তিনটি তলের সমান। ∴ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সমন্বয়ে গঠিত তলের ক্ষেত্রফল = 12 × 9 বর্গ সে.মি. = 108 বর্গ সে.মি. (প্রায়) (Ans.) প্রস্থ ও উচ্চতার সমন্বয়ে গঠিত তলের ক্ষেত্রফল = 6 × 9 বর্গ সে.মি. = 54 বর্গ সে.মি. (Ans.) এবং দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার সমন্বয়ে গঠিত তলের ক্ষেত্রফল = 12 × 6 বর্গ সে.মি. = 72 বর্গ সে.মি. (Ans.) ∴ প্যাকেটটির আয়তন = abc ঘন একক = 12 × 9 × 6 ঘন সে.মি. = 648 ঘন সে.মি. (Ans.)

গ) এখানে, ঘনকের ধার, a′ = প্যাকেটের কর্ণ = 16·16 সে.মি. (প্রায়) আমরা জানি, ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a′² বর্গ একক = 6 × (16·16)² = 1566·8736 বর্গ সে.মি. (Ans.) আয়তন = a′³ ঘন একক = (16·16)³ ঘন সে.মি. = 4220·1129 ঘন সে.মি. (প্রায়) (Ans.) কর্ণের দৈর্ঘ্য = a′√3 একক = 16·16 × √3 সে.মি. = 28 সে.মি. (প্রায়) (Ans.)

উত্তর: মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 16 মিটার " " প্রস্থ, b = 12 মিটার " " উচ্চতা, c = 4.5 মিটার আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ একক = 2(16 × 12 + 12 × 4.5 + 4.5 × 16) বর্গমিটার = 2(192 + 54 + 72) বর্গমিটার = 2 × 318 বর্গমিটার = 636 বর্গমিটার আবার, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য = √a² + b² + c² একক = √(16)² + (12)² + (4.5)² মিটার = √256 + 144 + 20.25 মিটার = √420.25 মিটার = 20.5 মিটার এবং আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = (a × b × c) ঘন একক = (16 × 12 × 4.5) ঘনমিটার = 864 ঘনমিটার নির্ণেয় আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 636 বর্গমিটার, কর্ণের দৈর্ঘ্য 20.5 মিটার ও আয়তন 864 ঘনমিটার।

উত্তর: মনে করি, আয়তাকার জলাধারের দৈর্ঘ্য, a = 2.5 মিটার প্রস্থ, b = 1.0 মিটার উচ্চতা, c = 0.4 মিটার ∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের আয়তন = abc ঘনমিটার = (2.5 × 1.0 × 0.4) ঘনমিটার = 1 ঘনএকক আবার, আয়তাকার ক্ষেত্রের অভ্যন্তরীণ তলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গএকক = 2(2.5 × 1.0 + 1.0 × 0.4 + 0.4 × 2.5) বর্গমিটার = 2(2.5 + 0.4 + 1.0) বর্গমিটার = 2 × 3.9 বর্গমিটার = 7.8 বর্গমিটার জলাধারটির আয়তন 1 ঘনমিটার ও অভ্যন্তরীণ তলের ক্ষেত্রফল 7.8 বর্গমিটার। (Ans.)