অষ্টম শ্রেণির গণিত ৮ম অধ্যায়: চতুর্ভুজ

ক) ∠ABC + ∠BAD = 180° যুক্তি : আমরা জানি, সামান্তরিকের চার কোণের সমষ্টি 360°। উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC + ∠BAD = 360° বা, 2(∠ABC + ∠BAD) = 360° [ ∠BCD = ∠BAD এবং ∠ADC = ∠ABC] বা, ∠ABC + ∠BAD = (360°)/2 ∴ ∠ABC + ∠BAD = 180°

খ) বিশেষ নির্বাচন : মনে করি, ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AO = CO, BO = DO. প্রমাণ : ধাপ যথার্থতা (১) AB ও DC রেখাদ্বয় সমান্তরাল এবং AC এদের ছেদক। অতএব, ∠BAC = একান্তর ∠ACD. (২) AB ও DC রেখা সমান্তরাল এবং BD এদের ছেদক। সুতরাং, ∠BDC = একান্তর ∠ABD. (৩) এখন, ΔAOB ও ΔCOD এ ∠OAB = ∠OCD, ∠OBA = ∠ODC এবং AB = DC. সুতরাং, ΔAOB ≅ ΔCOD অতএব, AO = CO এবং BO = DO. (প্রমাণিত) [একান্তর কোণ সমান] [একান্তর কোণ সমান] ∠BAC = ∠ACD; ∠BDC = ∠ABD [ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]

গ) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান অর্থাৎ AC = BD। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি আয়ত। প্রমাণ : ধাপ যথার্থতা (১) ΔABC ও ΔDCB এ AB = DC [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান] BC = CB [সাধারণ বাহু] এবং AC = DB [দেওয়া আছে] ∴ ΔABC ≅ ΔDCB [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] ∴ ∠ABC = ∠DCB (২) AB || DC এবং BC এদের ছেদক। ∴ ∠ABC + ∠DCB = 180° [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ] (৩) (১) ও (২) থেকে পাই, 2∠ABC = 180° ∴ ∠ABC = 90° এবং ∠DCB = 90° (৪) সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান। ∴ ∠ADC = ∠ABC = 90° এবং ∠BAD = ∠DCB = 90° অর্থাৎ, ABCD সামান্তরিকের প্রতিটি কোণ সমকোণ। ∴ ABCD একটি আয়ত। (প্রমাণিত)

উত্তর: ∠ABC + ∠BAD = 180° যুক্তি : আমরা জানি, সামান্তরিকের চার কোণের সমষ্টি 360°। উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC + ∠BAD = 360° বা, 2(∠ABC + ∠BAD) = 360° [ ∠BCD = ∠BAD এবং ∠ADC = ∠ABC] বা, ∠ABC + ∠BAD = (360°)/2 ∴ ∠ABC + ∠BAD = 180°

উত্তর: চিত্রে ABCD সামান্তরিকের একটি কর্ণ BD। AE ⊥ BD ও CF ⊥ BD অঙ্কিত হয়েছে।