৮. বৃত্ত

ক) ABC বৃত্তের কেন্দ্র O এবং AB ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা।

খ) O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে AB ব্যাস নয় এমন জ্যা। এখন OD ⊥ AB হলে প্রমান করতে হবে যে, D, AB জ্যায়ের মধ্যবিন্দু। অঙ্কন : O, A ও O, B যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (১) OD ⊥ AB হওয়ায় ∠ODA = ∠ODB = এক সমকোণ। (২) এখন, ODA ও ODB সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ OA = অতিভুজ OB [উভয়ই একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং OD = OD [সাধারণ বাহু] ∴ ΔODA ≅ ΔODB (৩) ∴ AD = BD ∴ D, AB জ্যায়ের মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)

গ) চিত্রের AB জ্যা এর সমান করে CD আরেকটি জ্যা অঙ্কন করা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, AB ও CD জ্যা দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র O হতে সমদূরবর্তী। অঙ্কন : O, A ও O, C যোগ করি। কেন্দ্র O হতে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OE ও OF লম্ব অঙ্কন করি। প্রমাণ : ধাপ যথার্থতা (১) যেহেতু কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং OE ⊥ AB ও OF ⊥ CD. সুতরাং AE = BE এবং CF = DF ∴ AE = 1/2 AB এবং CF = 1/2 CD (২) কিন্তু AB = CD ∴ AE = CF (৩) এখন, OAE ও OCF সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ OA = অতিভুজ OC এবং AE = CF ∴ ΔOAE ≅ ΔOCF (৪) OE = OF কিন্তু OE ও OF কেন্দ্র O থেকে যথাক্রমে AB জ্যা ও CD জ্যা এর দূরত্ব। ∴ AB ও CD জ্যা দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র O হতে সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত) [কল্পনা] [উভয়ই একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

উত্তর: সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ACBD বৃত্তের AB ও CD দুইটি জ্যা পরস্পরকে E বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, E-ই বৃত্তের কেন্দ্র। অঙ্কন : বৃত্তটির কেন্দ্র E না ধরে O ধরি এবং O, E যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (১) O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু E· [জানা আছে যে, বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু এবং কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর ওপর লম্ব] ∴ OE ⊥ AB অর্থাৎ ∠OEA = এক সমকোণ (২) আবার, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং CD জ্যা এর মধ্যবিন্দু E· ∴ OE ⊥ CD অর্থাৎ ∠OEC = এক সমকোণ (৩) যেহেতু AB এবং CD দুইটি পরস্পরচ্ছেদী সরলরেখা। ∴ ∠OEA এবং ∠OEC উভয়ই এক সমকোণ হতে পারে না। (৪) সুতরাং E ব্যতীত অন্য কোনো বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র হতে পারে না। ∴ E বিন্দুটি ACBD বৃত্তের কেন্দ্র। [প্রমাণিত]

উত্তর: সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যায়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের ওপর লম্ব। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের কেন্দ্র O। AB এর মধ্যবিন্দু E এবং CD এর মধ্যবিন্দু F এবং AB||CD। প্রমাণ করতে হবে যে, EF কেন্দ্রগামী এবং AB ও CD এর ওপর লম্ব। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (১) F, CD এর মধ্যবিন্দু এবং OF কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ। ∴ OF, CD এর ওপর লম্ব। [বৃত্তের কেন্দ্র ও জ্যায়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যায়ের ওপর লম্ব] এবং ∠OFC = এক সমকোণ। (২) আবার, E, AB এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় OE, AB এর ওপর লম্ব এবং ∠AEO = এক সমকোণ। [একই কারণে] ∴ ∠AEO = ∠OFC [একান্তর কোণ] (৩) AB || CD হওয়ায় EF ছেদক। অর্থাৎ E, O, F একই সরলরেখা। অতএব, EF কেন্দ্রগামী এবং EF⊥CD এবং FE⊥AB· [প্রমাণিত]