ক) দেওয়া আছে, P(x) = − x² + 15x + 10x³ + 9
এখন P(x) কে x চলকের আদর্শরূপে লিখলে হবে,
P(x) = 10x³ − x² + 15x + 9
∴ P(x) এর মুখ্য সহগ হলো 10. (Ans.)
খ) 'ক' হতে পাই, P(x) = 10x³ − x² + 15x + 9
P(x) এর ধ্রুবপদ 9 এর উৎপাদকসমূহের সেট f₁ = {1, − 1, 3 − 3, 9, − 9}
P(x) এর মূখ্যসহগ 10 এর উৎপাদকসমূহের সেট f₂ = {1, −1, 2, − 2, 5, − 5, 10 − 10}
এখন, P(a) বিবেচনা করি, যেখানে a = π/4 এবং π ∈ f₁, s ∈ f₂
a = 1 হলে P(1) = 10 − 1 + 15 + 9 ≠ 0
a = − 1 " P(−1) = − 10 − 1 − 15 + 9 ≠ 0
a = − 1/2 হলে P (− 1/2) = 10 (− 1/8) − 1/4 + 15 (− 1/2) + 9
= − 5/4 − 1/4 − 15/2 + 9
= (− 5 − 1 − 30 + 36)/4
= (− 36 + 36)/4
= 0/4
= 0
সুতরাং x + 1/2 = 1/2 (2x + 1) অর্থাৎ (2x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 10x³− x² + 15x + 9
= 10x³ + 5x² − 6x² − 3x + 18x + 9
= 5x²(2x + 1) − 3x(2x + 1) + 9(2x + 1)
= (2x + 1) (5x² − 3x + 9)
∴ P(x) = (2x + 1)(5x² − 3x + 9)
গ) দেওয়া আছে, Q(x) = x³ + x² − 6x
= x(x² + x − 6)
= x(x² + 3x − 2x − 6)
= x(x(x + 3) − 2(x + 3)}
= x(x + 3) (x − 2)
∴ (x² + x − 1)/(Q(x))
= (x² + x − 1)/(x(x + 3)(x − 2))
ধরি, (x² + x − 1)/(x(x − 2)(x + 3)) = A/x + B/(x − 2) + c/(x + 3)...............(i)
সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে x(x − 2)(x + 3) দ্বারা গুণ করে পাই,
x² + x − 1 ≡ A(x − 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + cx(x − 2) .....(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
এখন সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই,
0² + 0 − 1 = A(0 − 2) (0 + 3) + B.0(0 + 3) + c.0(0 − 2)
বা, − 1 = A(− 2). 3 + 0 + 0
বা, − 1 = − 6A
বা, A = 1/6
আবার সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই,
2² + 2 − 1 = A(2 − 2)(2 + 3) + B.2(2 + 3) + c.2(2 − 2)
বা, 4 + 2 − 1 = 0 + 10B + 0
বা, 5 = 0 + 10B
∴ B = 5/10 = 1/2
আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = − 3 বসিয়ে পাই,
(−3)² + (−3) − 1 = A(− 3 − 2) (− 3 + 3) + B(− 3)(− 3 + 3) + c(− 3)(− 3 − 2).
বা, 9 − 3 − 1 = 0 + 0 + 15c
বা, 5 = 15c
∴ c = 5/15 = 1/3
এখন, A, B ও C এর মান সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই,
(x² + x − 1)/(x(x − 2)(x + 3)) = (1/6)/x + (1/2)/(x − 2) + (1/3)/(x + 3)
= 1/6x + 1/(2(x − 2)) + 1/(3(x + 3)).
যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
