৩. জ্যামিতি

ক) ধরি, নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ r প্রশ্নমতে, 2πr = 20 ∴ r = 20/2π = 10/π সে.মি. আমরা জানি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। সুতরাং, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R = 2r = 2 × 10/π = 20/π সে.মি. ∴ পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল = πR² = π × (20/π)² বর্গ সে.মি. = 400/π বর্গ সে.মি. = 127.32 বর্গ সে.মি. (Ans.)

খ) এখানে, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের BD ও AC এর লম্ব ছেদবিন্দু P। PM ⊥ AD এবং বর্ধিত NP, BC কে N বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, BN = CN। প্রমাণ : একই চাপ CD এর উপর দণ্ডায়মান বলে, ∠DAC = ∠DBC অর্থাৎ, ∠DAP = ∠PBN আবার, ∠DAP = ∠DPM [উভয়ে একই ∠APM এর পূরক কোণ] সুতরাং, ∠PBN = ∠NPB ফলে PBN ত্রিভুজে, BN = PN অনুরূপভাবে দেখানো ∠NCP = ∠ADP = ∠APM = ∠CPN ফলে PCN ত্রিভুজে, CN = PN ∴ BN = CN (প্রমাণিত)

গ) এখানে, ΔPDA-এ ∠DPA = 90° এবং PM ⊥ DA। প্রমাণ করতে হবে যে, PM² = AM.DM। প্রমাণ : ∠DPA = 90° ∴ ∠DPM + ∠MPA = 90° .............................................. (i) আবার, PM ⊥ DA বলে, ∠PMD = ∠PMA = 90° ΔDPM-এ, ∠PMD + ∠DPM + ∠PDM = 180° [∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°] বা, 90° + ∠ DPM + ∠PDM = 180 [∵ ∠PMD = 90°] বা, ∠DPM + ∠PDM = 90° .......................................... (ii) (i) ও (ii) নং হতে পাই, ∠DPM + ∠MPA = ∠DPM + ∠PDM ∴ ∠MPA = ∠PDM ΔPDM ও ΔPAM-এ ∠PMD = ∠PMA, ∠PDM = ∠MPA অবশিষ্ট ∠DPM = অবশিষ্ট ∠PAM ∴ ΔPDM ও ΔPAM সদৃশ ∴ DP/PA = PM/AM = DM/PM অর্থাৎ, PM/AM = DM/PM ∴ PM² = AM.DM (প্রমাণিত)

উত্তর: ধরি, নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ r প্রশ্নমতে, 2πr = 20 ∴ r = 20/2π = 10/π সে.মি. আমরা জানি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। সুতরাং, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R = 2r = 2 × 10/π = 20/π সে.মি. ∴ পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল = πR² = π × (20/π)² বর্গ সে.মি. = 400/π বর্গ সে.মি. = 127.32 বর্গ সে.মি. (Ans.)

উত্তর: দেওয়া আছে, ΔABC-এ ∠B = 60°। প্রমাণ করতে হবে যে, AC² = AB² + BC² − AB.BC অঙ্কন : A বিন্দু থেকে BC এর উপর AD লম্ব আঁকি। প্রমাণ : ΔABD-এ cos 60° = BD/AB বা, 1/2 = BD/AB[ cos 60° = 1/2] বা, AB = 2BD এখন, ΔADC-এ ∠ADC সমকোণ। ∴ AC² = AD² + CD² [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী] বা, AC² = AD² + (BC − BD)² বা, AC² = AD² + BC² + BD² − 2BD.BC বা, AC² = AD² + BD² + BC² − AB.BC [ 2BD = AB] আবার, ΔABD-এ ∠ADB সমকোণ। ∴ AB² = AD² + BD² অতএব, AC² = AB² + BC² − AB.BC (প্রমাণিত)