৯. সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন

ক) দেওয়া আছে, a² + b² = 11ab বা, a² − 2ab + b² = 9ab বা, (a − b)² = 9ab বা, (a − b)² = (3√ab)² বা, a − b = 3√ab বা, (a − b)/3 = (ab)^(1/2) বা, log((a − b)/3) = log (ab)^(1/2) [উভয়পক্ষে log নিয়ে] ∴ log ((a − b)/3) = 1/2 (loga + logb). (প্রমাণিত)

খ) দেওয়া আছে, n = log(3 + 5x) − 2 logx বা, log (3 + 5x) − 2 logx = 0 [∵ n = 0] বা, log (3 + 5x) − logx² = log1 [∵ log1 = 0] বা, log ((3 + 5x)/x²) = log1 বা, (3 + 5x)/x² = 1 বা, x² − 5x − 3 = 0 ∴ x = (− (− 5) ± √(− 5)² − 4.1 (− 3))/(2.1) = (5 ± √37)/2 হয়, x = (5 + √37)/2 অথবা, x = (5 − √37)/2 যা গ্রহণযোগ্য নয়। বা, 2x = 5 + √37 ∴ 2x − 5 = √37. (প্রমাণিত)

গ) দেওয়া আছে, m = 1/2 {∛(x + y) − ∛(x − y)} এবং x² − y² = z³ এখন, m = 1/2 {∛(x + y) − ∛(x − y)} বা, 2m = (x + y)^(1/3) − (x − y)^(1/3) বা, (2m)³ = {(x + y)^(1/3) − (x − y)^(1/3)} [ঘন করে] বা, 8m³ = (x + y) − (x − y) − 3(x + y)^(1/3) . (x − y)^(1/3) {(x + y)^(1/3) − (x − y)^(1/3)} বা, 8m³ = 2y − 3 (x² − y²)^(1/3).2m বা, 8m³ = 2y − 3(z³)^(1/3).2m বা, 8m³ = 2y − 6mz বা, 4m³ = y − 3mz ∴ 4m³ + 3mz − y = 0. (প্রমাণিত)

উত্তর: ধরি, ষড়মশঢ়/(y − z) = ষড়মশয়/(z − x) = ষড়মশৎ/(x − y) = c ∴ logkp = c(y − z) ..........(i) logkq = c(z − x) ........... (ii) logkr = c(x − y) ........... (iii) (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই, logkp + logkq + logkr = c(y − z + z − x + x − y) বা, logkpqr = c.0 = 0 = logk1 ∴ pqr = 1 (প্রমাণিত)

উত্তর: দেওয়া আছে, a² + b² = 11ab বা, a² − 2ab + b² = 9ab বা, (a − b)² = 9ab বা, (a − b)² = (3√ab)² বা, a − b = 3√ab বা, (a − b)/3 = (ab)^(1/2) বা, log((a − b)/3) = log (ab)^(1/2) [উভয়পক্ষে log নিয়ে] ∴ log ((a − b)/3) = 1/2 (loga + logb). (প্রমাণিত)