ক) (1 − 2y + y²)⁷ = (y² − 2y + 1)⁷
= {(y − 1)²}⁷ = (y − 1)¹⁴
∴ পদসংখ্যা = 14 + 1 = 15টি (Ans.)
খ) A = (2 + x/3)ⁿ বিস্তৃতির, r + 1 তম পদ = ⁿCᵣ 2ⁿ⁻ʳ . (x/3)ʳ
∴ (4 + 1) তম পদ = ⁿC₄ 2ⁿ⁻⁴ . (x/3)⁴
(5 + 1) তম পদ = ⁿC₅ 2ⁿ⁻⁵ . (x/3)⁵
প্রশ্নমতে, ⁿC₄ 2ⁿ⁻⁴ (1/3)⁴ = 5 × ⁿC₅ 2ⁿ⁻⁵ (1/3)⁵
বা, n!/(4! (n − 4)!) × 2^(n − 4 − n + 5) × 3^(− 4 + 5) = 5 × n!/(5! (n − 5)!)
বা, (2 × 3)/(4! (n − 4) (n − 5)!) = 5 × 1/(5 × 4! (n − 5)!)
বা, 6/(n − 4) = 1
বা, n − 4 = 6
∴ n = 10 (Ans.)
গ) দেওয়া আছে, B = (1 − x) (1 + ax)⁵
= (1 − x) {1 + ⁵C₁(ax)¹ + ⁵C₂(ax)² + ⁵C₃(ax)³ + ... ...}
= (1 − x) (1 + 5ax + 10a²x² + 10a³x³ + ... ...)
= (1 + 5ax + 10a²x² + 10a³x³ + ... ...) − (x + 5ax² + 10a²x³ + 10a³x⁴ + ... ...)
= 1 + x (5a − 1) + x² (10a² − 5a) + x³ (10a³ − 10a²) + ... ... (i)
প্রশ্নমতে, B = 1 + bx² + cx³ + ... ... ... (ii)
(i)নং ও (ii)নং এ সহগ সমীকৃত করে পাই, 5a − 1 = 0
∴ a = 1/5
আবার, 10a² − 5a = b
বা, 10 × (1/5)² − 5.1/5 = b [a এর মান বসিয়ে]
বা, 10 × 1/25 − 1 = b
∴ b = − 3/5
এবং 10a³ − 10a² = c
বা, 10 × (1/5)³ − 10(1/5)² = c
বা, 10/125 − 10/25 = c ∴ c = − 8/25
∴ a, b, c এর মান যথাক্রমে 1/5, − 3/5, − 8/25. (Ans.)
