৯. সমতলে বস্তুকণার গতি (Motion of particles in a plane)

ক) ধরি, কোনো গোলকটি O বিন্দু থেকে u আদিবেগে অনুভূমিকের সাথে α কোণে প্রক্ষিপ্ত হলো। O বিন্দুতে u বেগের অনুভূমিক লম্বাংশ ucosα এবং উলম্ব লম্বাংশ usinα এবং বস্তুকণাটি সর্বাধিক H উচ্চতায় পৌছে। সর্বাধিক উচ্চতায় পৌছানোর সময় T₁ হলে, T₁ সময়ে বস্তুকণাটির বেগের উল্লম্ব লম্বাংশ 0 হবে। ∴0 = usinα − gT₁ বা, T₁ = (u/g)sinα(Ans.)

খ) মনে করি কোনো বস্তুকণা O বিন্দু থেকে u আদিবেগে অনুভূমিকের সাথে α কোণে প্রক্ষিপ্ত হলো। O বিন্দুতে u এর অনুভূমিক উপাংশ ucosα এবং উল্লম্ব উপাংশ usinα। অভিকর্ষজ ত্বরণ g নিম্নদিকে উল্লম্বভাবে বিধায় ucosα এর উপর g এর কোন প্রভাব থাকবে না। বস্তুকণাটি T সময় পর অনুভূমিক তলে ফিরে আসলে লম্বিক সরণ শূন্য হবে। ∴0 = usinα.T − (1/2)gT² বা, 0 = 2usinα.T − gT² বা, gT² − usinα.T = 0 বা, T(gT − 2sinα) = 0 ∴gT − 2usinα = 0 [∵T ≠ 0] বা, T = (2u/g)sinα অনুভূমিক পাল্লা R হলে, R = ucosα.T = ucoxα.(2u/g)sinα = (u²/g)(2sinαcosα) = (u²/g)sin2α ∴R = (u²/g)sin2α (প্রমাণিত) পাল্লা সর্বাধিক হবে যখন sin2α এর মান সর্বাধিক হবে। অর্থাৎ .. সুতরাং সর্বাধিক পাল্লার জন্য, Rₘₐₓ = (u²/g)sin(2 × 45°) = u²/g ∴Rₘₐₓ = u²/g (প্রমাণিত)

গ) গোলকটি ভূমি থেকে u অদিবেগে অনুভূমিকের সাথে α কোণে নিক্ষেপ করলে যদি t সময়ে P(x,y) বিন্দুতে পৌছে তবে, অনুভূমিক সরণ x = ucosα.t বা, t = x/ucosα লম্বিক সরণ y = sinα.t − (1/2)gt² u,α,gনির্দিষ্ট বলে এরা ধ্রুবক। tanα = a এবং −g/2u²cos²α ধরে y = ax + bx² এটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ বোঝায়। সুতরাং গোলকটির গতিপথ একটি পরাবৃত্ত বা প্যারাবোলা হবে।

উত্তর: ধরি, কোনো গোলকটি O বিন্দু থেকে u আদিবেগে অনুভূমিকের সাথে α কোণে প্রক্ষিপ্ত হলো। O বিন্দুতে u বেগের অনুভূমিক লম্বাংশ ucosα এবং উলম্ব লম্বাংশ usinα এবং বস্তুকণাটি সর্বাধিক H উচ্চতায় পৌছে। সর্বাধিক উচ্চতায় পৌছানোর সময় T₁ হলে, T₁ সময়ে বস্তুকণাটির বেগের উল্লম্ব লম্বাংশ 0 হবে। ∴0 = usinα − gT₁ বা, T₁ = (u/g)sinα(Ans.)

উত্তর: ধরি ত্বরণ f সে.মি/সে² 8 তম সেকেন্ডের জন্য sₜ = 540 ও sₜ = u + (1/2)f(2t − 1) বা, 540 = u + (15/2)f.................................(i) 15 তম সেকেন্ডের জন্য 960 = u + 1/(2f(15 × 2 − 1)) বা, 960 = u + (29/2)f.....................(ii) (i)` ও (ii) নং সমাধান করে পাই, u = 90 সে.মি./সে. f = 60 সে.মি/সে.² আবার, s = ut + (1/2)t² 20 সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব = 90 × 20 + 1/2 × 60 × 20² = 13800 সে.মি