৭. অসীম ধারা

ক) সমান্তর ধারা : কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে। উদাহরণ : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ............. একটি সমান্তর ধারা। এখানে, ২য় পদ - ১ম পদ = 3 – 1 = 2, ৩য় পদ - ২য় পদ = 5 – 3 = 2, ৪র্থ পদ - ৩য় পদ = 7 – 5 = 2, ৫ম পদ - ৪র্থ পদ = 9 – 7 = 2 ∴ ধারাটি সমান্তর।

খ) প্রদত্ত ধারা : 1 + 1/(1 + y) + 1/((1 + y)²) + 1/((1 + y)³) + ......... y = 2 হলে, ধারাটি, 1 + 1/(1 + 2) + 1/((1 + 2)²) + 1/((1 + 2)³) + ................. = 1 + 1/3 + 1/3² + 1/3³ + .......... ধারাটির ১ম পদ, a = 1 সাধারণ অনুপাত, r = (1/3)/1 = 1/3 < 1 যেহেতু, ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r < 1 ∴ ধারাটির ১ম 10টি পদের সমষ্টি = a⁻¹ – rn,1 – r) = (1{1 – (1/3)¹⁰})/(1 – 1/3) = (1 – 1/59049)/(2/3) = ((59049 – 1)/59049)/(2/3) = 3/2 × 59048/59049 = 29524/19683 (Ans.)

গ) ধারাটির ১ম পদ, a = 1 সাধারণ অনুপাত, r = (1/(y + 1))/1 = 1/(1 + y) ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি | r | < 1 হয়। বা, – 1 < r < 1 বা, – 1 < 1/(1 + y) < 1 এখন – 1 < 1/(1 + y) বা, – 1 > 1 + y [ব্যস্তকরণ করে] বা, – 1 – 1 > 1 + y – 1 [উভয়পক্ষে (– 1) যোগ করে] বা, – 2 > y ∴ y < – 2 আবার, 1/(1 + y) < 1 < বা, 1 + y > 1 [ব্যস্তকরণ করে] বা, 1 + y – 1 > 1 – 1 ∴ y > 0 নির্ণেয় শর্ত : y > 0 অথবা, y < – 2 ∴ অসীমতক সমষ্টি, S∞ = a/(1 – r) = 1/(1 – 1/(y + 1)) ['ক' হতে পাই] = 1/((y + 1 – 1)/(y + 1)) = (y + 1)/y (Ans.)

উত্তর: গাণিতিক আরোহ পদ্ধতির সাহায্যে দেখাতে হবে যে, a + ar + ar² + ar³ + ............. এর n তম আংশিক সমষ্টি, Sn = (a. (a − rn))/(1 − r) যখন r ≠ 1 অর্থাৎ, দেখাতে হবে যে, a + ar + ar² + ar³ + ......... + arⁿ⁻¹ = (a(1− rn))/(1− r) [যখন r ≠1] এখানে, a + ar + ar² + ar³ + ......... + arⁿ⁻¹ = (a(1− rn))/(1 − r)......(i) প্রথম ধাপ : n = 1 এর জন্য (i) এর বামপক্ষ = a এবং ডানপক্ষ = a⁻¹ − r¹,1 − r) = a⁻¹ − r,1 − r) = a সুতরাং a = 1 এর জন্য (i) বাক্যটি সত্য। দ্বিতীয় ধাপ : ধরি n = m এর জন্য (i) বাক্যটি সত্য। অর্থাৎ a + ar + ar² + ar³ + ........ + arm ⁻¹ = a⁻¹ − rm,1 − r).............(ii) এখন (i) বাক্যটি n = m + 1 এর জন্য সত্য হবে যদি, a + ar + ar² + ar³ + ............. + arm ⁺¹ ⁻¹ = (a(1− rm +1))/(1 − r) বা, a + ar + ar² + ar³ + ............. + arm = (a(1− rm − 1))/(1 − r) ⁻ − ...................(iii) সত্য হয়। (ii) এর উভয় পক্ষে arm যোগ করে পাই, a + ar + ar² + ar³ + ........... + arm ⁻¹ + arm = (a(1− rm))/(1 − r) + arm বা, a + ar + ar² + ar³ + ........ + arm⁻¹ + arm = (a(1− rm) + (1 − r)arm)/(1− r) = (a − arm + 1)/(1 − r) = a⁻¹ − rm + 1,1 − r) ∴ (iii) প্রমাণিত হলো, অর্থাৎ n = m + 1 এর জন্য (i) বাক্যটি সত্য সুতরাং গাণিতিক আরোহ বিধি অনুযায়ী সকল n ∈ N এর জন্য r ≠ 1 হলে গুণোত্তর ধারা a + ar + ar² + ar³ + ............. এর n তম আংশিক সমষ্টি = a⁻¹ − rn,1 − r) (দেখানো হলো)

উত্তর: শর্ত x < −2 অথবা x > 0 এবং সমষ্টি 1/x

ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, 1/(x + 1) + 1/((x + 1)²) + 1/((x + 1)³) + ........ ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/(x + 1) এবং সাধারণ অনুপাত, r = 1/((x + 1)²) ÷ 1/(x + 1) = 1/((x + 1) (x + 1)) × (x + 1)/1 = 1/(x + 1) এখন প্রদত্ত ধারার (অসীমতক) সমষ্টি থাকবে যদি | r | < 1 হয় অর্থাৎ −1 < r < 1 হয়, বা, −1 < 1/(x + 1) < 1 হয় [r = 1/(x + 1) বসিয়ে] এখন, −1 < 1/(x + 1) বা, 1/(−1) > x + 1 [বিপরীতকরণ করে] বা, − 1 > x + 1 বা, − 1 − 1 > x + 1 − 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে] বা, − 2 > x ∴ x < − 2 অথবা, 1/(x + 1) < 1 বা, x + 1 > 1 [বিপরীতকরণ করে] বা, x + 1 − 1 > 1 − 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে] ∴ x > 0 ∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি x < − 2 অথবা, x > 0 হয়। ∴ ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি, S = a/(1 − r) = (1/(x + 1))/(1 − 1/(x + 1)) = (1/(x + 1))/((x + 1 − 1)/(x + 1)) = (1/(x + 1))/(x/(x + 1)) = 1/(x + 1) × (x + 1)/x = 1/x ∴ যখন x > 0 অথবা, x < −2 তখন ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি 1/x